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pitagoras Tresfonsitas

Experimento aleatorio

Vamos a formar una urna con la siguiente composición: 6 bolas blancas, que además están premiadas; y 4 rojas, ninguna de las cuales está premiada.

El conjunto de resultados posibles se denotará:


Ω={ω}={1,2,....,10}

Esta es, por tanto, la composición de la urna.

Imaginemos que hemos cerrado la urna después de haber agitado las bolas. La extracción de una bola de la urna se considera un experimento aleatorio en el sentido de que no se puede predecir el resultado.

Llamaremos suceso a cualquier subconjunto de Ω.

Suceso elemental: cualquiera de los resultados ωi.

Suceso seguro: el conjunto Ω. Si apostamos a que la bola extraída es roja o está premiada, no podemos fallar.

Suceso imposible: el conjunto vacío ∅. Si apostamos a que la bola sea roja y esté premiada no podemos acertar.

Sucesos incompatibles: A y B son incompatibles si su intersección es el conjunto vacío. Los sucesos bola roja y bola premiada son incompatibles.

Sucesos contrarios: un suceso A y su complementario Ac. Los sucesos bola roja y bola blanca son contrarios.

Función de probabilidad

Diremos que P es una función de probabilidad si cumple los 3 axiomas siguientes:

A1.   P(Ω)= 1

A2.   0≤P(S)≤ 1   para cualquier suceso S

A3.  Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles:


P(A1∪ A2∪....∪An)= P(A1)+P( A2)+.....+P(An )

Propiedad 1. Teorema del suceso contrario: P(Ac)=1-P(A)

Propiedad 2. Teorema de la unión: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Asignación de probabilidades

Regla de Laplace:


P(S)=casos favorables/casos posibles

Esta fórmula requiere que todos los sucesos elementales tengan igual probabilidad, por ejemplo, un dado bien construído. En este caso el conjunto de resultados sería:


(Ω)={1,2,3,4,5,6}

¿Cuál sería la probabilidad de obtener un valor par al lanzar un dado?


P(par)=3/6=0'5

¿Cuál sería la probabilidad de obtener un valor par o menor que 5 al lanzar un dado?


P(par∪(<5))=P(par)+P(<5)-P(par∩(<5))=3/6+4/6-2/6=5/6

¿Cuál sería la probabilidad de obtener un valor par o menor que 2 al lanzar un dado? Como son sucesos incompatibles:


P(par∪(<2))=P(par)+P(<2)=3/6+1/6=4/6

¿Cuál sería la probabilidad de obtener un valor mayor que 1? Por el teorema del suceso contrario:


P(>1))=1-P(1)=1-1/6=5/6

¿Cuál sería la probabilidad de obtener un valor par o menor que 2 al lanzar un dado? Como son sucesos incompatibles:


P(par∪(<2))=P(par)+P(<2)=3/6+1/6=4/6

Consideremos ahora el caso de una urna compuesta por 6 bolas blancas, la primera de las cuales está premiada; 4 bolas rojas, entre las cuales están premiadas las 3 primeras; y 2 negras, la última de ellas premiada.

¿Cuál sería la probabilidad de obtener premio al extraer una bola?


P(premio)=5/12

¿Cuál sería la probabilidad de obtener una bola blanca o premiada al extraer una bola?


P(blanca ∪premio)=P(blanca)+P(premio)-P(blanca ∩premio)= 6/12+5/12-1/12=10/12

Asignación frecuencialista

Toma en cuenta la proporción entre la frecuencia de repetición de un suceso, nS, y el número de veces, n, que se realiza el experimento. Así, se asigna como probabilidad el valor de la frecuencia relativa:


Pfrec(S)=nS/n

Mediante Excel es posible realizar simulaciones de experimentos aleatorios. Abriríamos un libro, al que llamaremos "simulación", y trabajaríamos en una hoja a la que llamaremos "dado1".

En el rango A4:A9 introduciremos mediante teclado las puntuaciones posibles. En B2 pondremos el número de lanzamientos. Así quedaría la hoja.

Dentro de Visual Basic y en el "módulo1" escribiremos la macro "dado1".

Para comenzar dimensionamos un vector f de 6 elementos para alojar las frecuencias. Luego leemos en B2 el tamaño del experimento.

Iniciamos un bucle que va a recorrer los lanzamientos del primero al último. En cada lanzamiento obtendremos RND, un valor al azar del intervalo (0,1) y lo alojamos en la variable x.

Un segundo bucle interior transformará x en la puntuación del dado: si x <1/6 habrá salido un "uno" y el depósito f(1) subirá en una unidad; de modo similar se obtendrán eventualmente los resultados del 2 al 5; como caso aparte, el resultado "seis" se producirá al salir del bucle.

Por último, las frecuencias se escriben en el rango B4:B9.

Así quedaría la hoja. tras una ejecución de la macro "dado1".

Podemos completar la hoja con la suma de las frecuencias en B10; suma que habrá de coincidir con el número de lanzamientos.

En la columna C obtendremos las frecuencias relativas. En C4 escribiremos:


=B4/$B$10

Luego copiaremos esta fórmula en la columna C.

En la columna D pondremos la probabilidad de Laplace, por tanto 1/6 sea cual sea la puntuación. Así veremos la hoja.

Un gráfico nos permite comparar las frecuencias relativas con la probabilidad de Laplace.

También es posible simular extracciones de la urna que hemos considerado anteriormente.

Abrimos una hoja de nombre "urna". En B2 pondremos el número de extracciones. En la columna A, a partir de la celda 5ª, escribiremos el número de bola; en la columna B el color y en la C si tienen o no premio. Así se verá la hoja.

La macro "urna1" simulará las extracciones y obtendrá las frecuencias del suceso "bola blanca o premiada".

La macro lee en B2 el tamaño del experimento. En un vector a(12) almacena el color de las bolas y en otro c(12) si tienen o no premio.

Un bucle va a recorrer las extracciones, de modo que en cada una de ellas almacenará en la variable x un valor al azar del intervalo (0,1).

Otro bucle interior transforma x en el número de bola: si esta está premiada o es blanca incrementaremos un contador, z77, en una unidad. Si el bucle se termina sin haber asignado el número de bola, entonces se trata de la nº 12; como está premiada incrementaremos z77 en una unidad.

Finalmente escribe en C18 la frecuencia relativa del suceso "blanca o premio". Así queda la hoja.

Probabilidad subjetiva:

Cuando los procedimientos de Laplace y frecuencialista no son utilizables se puede recurrir a un experto en la cuestión para que asigne probabilidades según su conocimiento del tema.

Ejemplo. Imaginemos que el Comité ejecutivo de un partido político va a elegir de entre sus 30 miembros a su Presidente.

Según Laplace, el señor García tendrá una probabilidad igual a 1/30 de ser elegido. Pero este procedimiento sólo sería adecuado si todos los miembros del Comité tuvieran la misma probabilidad de ser elegidos.

La vía frecuencialista sólo sería posible si tuvieramos información sobre elecciones anteriores de Presidente en un nº suficiente; naturalmente el Comité no debiera haber cambiado en su composición.

La alternativa plausible consiste en preguntar a un conocedor del partido: él nos podrá decir que en su opinión el sr. García tiene una probabilidad del 99% de ser elegido; o quizás que no tiene ninguna probabilidad; o que tiene una probabilidad del 30%.

Combinatoria

Sea una urna con M bolas numeradas, a la que llamaremos la población. De esta población vamos a extraer una muestra de n bolas. ¿Cuántas muestras posibles hay?

La respuesta a esta cuestión depende del tipo de muestreo. En primer lugar depende de si hay reemplazamiento o no: es decir, si cada bola que se extrae se devuelve o no a la urna antes de extraer otra. Consideremos una urna con cuatro bolas, marcadas con las letras A,U,J,N.

Si extraemos una muestra de 3 bolas con reemplazamiento, entre las muestras posibles figura (A,A,A); en cambio, si se extrae sin reemplazamiento tal muestra no sería posible.

En segundo lugar, depende de si en la definición del suceso se toma en consideración el orden o no.

Si extraemos una muestra de 4 bolas sin reemplazamiento, en el caso de no tener en cuenta el orden, la única muestra es (A,U,J,N). Pero en el caso de tomar el orden en cuenta, habría diferentes muestras posibles: (A,U,J,N), (J,U,A,N)...........

Lanzamiento de 3 dados

Se trata de calcular la probabilidad de obtener una suma 3,4,5,......17,18. Estamos ante un caso en el que hay reemplazamiento: en efecto, aunque haya salido un 6 en el primer dado, no hay impedimento para que pueda volver a salir el 6 en el segundo dado.

Para el suceso que consideramos, el valor de la suma de los 3 dados, el orden no tiene influencia: en efecto, da lo mismo que salgan un 3, un 4, y un 3, que un 4, un 3 y un 3, la suma valdrá 10.

Mediante una macro se pueden recorrer todos los casos posibles. Usaremos un bucle triple, pero exigiendo que el valor del segundo dado no sea inferior al del primero, y, análogamente, que el valor del tercero no sea inferior al del segundo. De ese modo evitaremos que aparezcan muestras que sólo se distingan en el orden.

Este será el resultado tras volcar los casos posibles y sus sumas en la hoja.

El problema que plantean estos 56 casos posibles es que no son equiprobables, y por tanto no se puede aplicar Laplace al calculo de probabilidades. En efecto, el caso (1,1,2) se puede producir de 3 modos diferentes: (2,1,1), (1,2,1) y (1,1,2); en tanto que el caso (1,1,1) sólo se puede generar de una manera.

Es posible evitar esta complicación recorriendo en un principio todos los casos posibles con orden; después al efectuar el recuento de casos favorables a las diferentes sumas 3,4,....,17,18, el orden desaparece .

La macro dimensiona un vector f(18), en el que depositar los recuentos de casos favorables a las diferentes sumas. Despues hacemos un bucle triple que recorra las 6 puntuaciones posibles de cada dado y calcule la suma. En el interior de este bucle otro bucle incrementará la frecuencia del elemento f() correspondiente. Finalmente, escribiremos en las columnas uno y dos las sumas y los casos favorables.

Luego en B19, obtenemos el total de casos posibles mediante:


=suma(b3:b18)

Finalmente en la columna C calculamos las probabilidades.

Este será el resultado en la hoja.

Lanzamiento de 10 monedas

Se trata de calcular la probabilidad del número de caras 0,1,2,.....9,10, que resulten en el lanzamiento. Estamos de nuevo ante un caso en el que hay reemplazamiento: en efecto, aunque haya salido cara en la moneda primera, no hay impedimento para que pueda volver a salir cara en la segunda, ni para que vuelva a salir en la tercera moneda.

Para el suceso que consideramos, el número de caras, el orden no tiene influencia: en efecto, da lo mismo que salgan 3 caras, 2 cruces y 5 caras, que 8 caras y 2 cruces, el resultado será 8 caras .

Mediante una macro recorreremos todos los casos posibles: para cada moneda el 1 (cruz) y el 2 (cara). Usaremos diez bucles, pero exigiendo que el valor de la segunda moneda no sea inferior al de la primera, que el valor de la tercera no sea inferior a la de la segunda y así sucesivamente. De ese modo evitaremos que aparezcan muestras que sólo se distingan en el orden.

Este será el resultado tras volcar los casos posibles y el correspondiente número de caras en la hoja.

Si aplicasemos Laplace sobre esta información nos daría una probabilidad igual a 1/11 para el suceso "ninguna cara". Incluso para alguien que no haya lanzado nunca dados o monedas, ese resultado será insatisfactorio. Intuitivamente se "sabe" que el suceso "0 caras" es muy raro y su probabilidad ha de ser mucho menor que 1/11. Así es en efecto, aquí no es posible aplicar Laplace porque los 11 casos que tenemos no son equiprobables: el caso "todas cruces" sólo se puede producir de una manera, mientras que el caso "5 cruces y 5 caras" se puede producir de muchos modos. Bastaría imaginar que las 10 monedas fueran de diferente valor para ratificar esto.

Es posible evitar este engorro recorriendo en un principio todos los casos posibles con orden; después al efectuar el recuento de casos favorables a las diferentes valores del nº de caras 0,1,2,3,4,....,9,10, el orden desaparece .

La macro dimensiona un vector f(11), en el que depositar los recuentos de casos favorables a los diferentes valores del número de caras. Despues hacemos 10 bucles que recorran los 2 valores posibles de cada moneda (1:cruz y 2:cara) y recuente el nº de caras. En el interior de este bucle otro bucle incrementará la frecuencia del elemento f() correspondiente. Finalmente, escribiremos en las columnas uno y dos los valores del nº de caras y los casos favorables.

Luego en B14, obtenemos el total de casos posibles mediante:


=suma(b3:b13)

Finalmente en la columna C calculamos las probabilidades.

Este será el resultado en la hoja.

También podemos ver un gráfico con las probabilidades.

Extracción de 3 bolas de una urna

Consideremos la urna que ya hemos presentado

Supondremos que no hay reemplazamiento. Se trata de calcular:

1. La probabilidad de obtener primero 2 premios, y en último lugar una bola no premiada.

2. La probabilidad de obtener primero 2 blancas y luego una negra.

3. La probabilidad de obtener una blanca, luego una roja y por último una negra.

En la definición de estos sucesos esta claro que el orden está presente.

Prepararemos una hoja con la composición de la urna. En la columna A, a partir de la celda 3ª, escribiremos el número de bola; en la columna B el color y en la C si tienen o no premio. Así se verá la hoja.

Mediante una macro leeremos esta información, almacenando en un vector a() el color y en otro b() la circunstancia de tener premio o no. Para recorrer todos los casos posibles usaremos 3 bucles, pero exigiendo que la bola que ha salido en la primera extracción no pueda volver a salir, y lo mismo para la bola que ha salido en segundo lugar. Llevaremos un contador de los casos posibles, a medida que el bucle vaya transcurriendo por ellos, así como, por supuesto, contadores de los casos favorables a los 3 sucesos que estamos considerando.

Este será el resultado tras volcar los casos favorables en la hoja.

Vamos ahora a calcular:

1. La probabilidad de obtener un nº de bolas blancas igual a 0,1,2,3.

2. La probabilidad de obtener 0,1,2,3 premios.

3. La probabilidad de obtener, en cualquier orden, una blanca, una roja y una negra.

Ahora tendremos que operar sin tomar en cuenta el orden.

La macro dimensiona un vector fb(), en el que depositar los recuentos de casos favorables a los diferentes valores del número de bolas blancas. Análogamente, un vector fp() para ir contando los casos favorables a 0,1,2,3 premios.

Trabajaremos con tres bucles, pero exigiendo que el nº de la segunda bola sea superior al de la primera, y así sucesivamente. De ese modo evitaremos repeticiones por un lado, y por otro que aparezcan muestras que sólo se distingan en el orden. En cada caso haremos el recuento de bolas blancas (db), bolas rojas (dr) y bolas premiadas (dp).

Según cual sea el nº de bolas blancas del caso, incrementaremos en una unidad el correspondiente elemento del vector fb(); lo mismo haremos para fp(), según el nº de premios. Si db=1 y dr=1, entonces habra una negra y, por tanto, incrementaremos en una unidad el depósito d2 de casos favorables a "una de cada color".

Este será el resultado en la hoja.

Probabilidad condicionada

Sea B un suceso tal que P(B)>0

Se define la probabilidad de A condicionada a B del siguiente modo:


P(A/B)=P(A ∩B)/P(B)

Consideremos de nuevo la urna .

Veamos cual es la probabilidad de que una bola blanca esté premiada; según la definición:


P(premio/Blanca)=P(premio ∩Blanca)/P(Blanca)=(1/12)/(6/12)=1/6

De un modo más intuitivo diremos: 6 casos posibles y uno favorable. Por tanto:


P(premio/Blanca)=1/6

Probabilidad de que una bola roja esté premiada:


P(premio/Roja)=3/4

Probabilidad de que una bola negra esté premiada:


P(premio/Negra)=1/2

Independencia estocástica

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:


P(A ∩B)=P(A)*P(B)

Regla del producto para el cálculo de probabilidades de sucesos independientes:


P(A ∩B ∩ C.....)=P(A)*P(B)*P(C)*........

Esta regla es de aplicación en el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos cuando se lanzan varios dados, o varias monedas, o se extraen bolas de una urna con reemplazamiento, es decir, cuando las extracciones que se puedan producir son independientes de las ya realizadas.

Para aprovechar esta "regla del producto" suele convenir disponer paralelamente de la fórmula de las "permutaciones de n elementos":


Pn=n*(n-1)*(n-2)*......*3*2*1=n!

Y de la fórmula de las "permutaciones de n elementos, entre los que hay n1, n2......nk elementos repetidos":


PRnn1, n2......nk =n!/(n1!, n2!......nk!)

Ejemplo. Lanzo 10 monedas. Calculemos la probabilidad de que una al menos resulte cara:


P(1 o más caras)=1-P(10 cruces)=1-P(cruz, cruz.....cruz)= =1-P(cruz)*P(cruz)*....P(cruz)=
1-P(cruz)10=1-0'5 10=0'99902

Ahora vamos a obtener la probabilidad de obtener 3 cruces y sólo 3.

Previamente vamos a calcular la probabilidad de obtener 3 cruces en primer lugar, seguidas de 7 caras:


P(cruz,cruz,cruz,cara,....cara)=P(cruz)3*P(cara)7= 0'53*0'57

Pero nuestro suceso se puede producir de tantos modos como permutaciones con repetición de 10 elementos, entre los que hay 3 repetidos de una clase y 7 repetidos de otra:


PR103, 7 =10!/(3!,7!)=10*9*8/6

Por tanto:


P(3 cruces)=0'53*0'57*10*9*8/6=0'1172

Ejemplo 2. Lanzo 3 dados. Calculemos la probabilidad de obtener suma 3:


P(suma 3)=P(1,1,1)=P(1)*P(1)*P(1)=(1/6)3=0,0046

Ahora vamos a obtener la probabilidad de obtener suma 9.


P(suma 9)=P(1,2,6)*P3+P(1,3,5)*P3+ P(1,4,4)*P32+P(2,2,5)*P32 +P(2,3,4)*P3+P(3,3,3)=
=(1/6)3*3!+(1/6)3*3!+ (1/6)3*3!/2!+(1/6)3*3!/2!+(1/6)3*3! +(1/6)3=0,1157

Teorema de la intersección


P(A ∩B)=P(A)*P(B/A)

Regla del producto:


P(A ∩B ∩C.......)=P(A)*P(B/A)*P(C/A ∩B)*......

Esta regla es de aplicación en el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos cuando se extraen bolas de una urna sin reemplazamiento, es decir, cuando las extracciones que se van a producir dependen de lo ya sucedido.

Ejemplo . Volvamos a la urna que nos es familiar.

Supondremos que no hay reemplazamiento. Se trata de calcular:

1. La probabilidad de obtener primero 2 premios, y en último lugar una bola no premiada.


P(premio,premio, no premio)=P(premio)*P(premio/premio)*P(no premio/2 premios)=
=(5/12)*(4/11)*(7/10)=0,1061

2. La probabilidad de obtener primero 2 blancas y luego una negra.


P(B,B,N)=P(B)*P(B/B)*P(N/2 blancas)=(6/12)*(5/11)*(2/10)=0,0455

3. La probabilidad de obtener una blanca, luego una roja y por último una negra.


P(B,R,N)=P(B)*P(R/B)*P(N/blanca y roja)=(6/12)*(4/11)*(2/10)=0,0364

Vamos ahora a calcular:

1. La probabilidad de obtener 2 bolas blancas, y sólo 2.


P(2 blancas)=P(B,B,N)*P32+P(B,B,R)*P32=


=(6/12)*(5/11)*(2/10)*3+(6/12)*(5/11)*(4/10)*3=0,4091

2. La probabilidad de obtener 2 premios.


P(2 premios)=P(premio, premio, no premio)*P32= (5/12)*(4/11)*(7/10)*3=0,3182

3. La probabilidad de obtener una bola de cada color.


P(una de cada color)=P(B,R,N)*P3 =(6/12)*(4/11)*(2/10)*3!=0,2182

Teorema de Bayes

Sea S un suceso cualquiera y H1,H2,H3, una serie de sucesos que conforman una partición del conjunto Ω de los resultados, es decir, la intersección de 2 sucesos cualquiera Hi,Hj es el conjunto vacío y, además:


H1 ∪H2∪H3=Ω ; P(Hi>0

Vamos a suponer que disponemos de:


P(H1); P(H2); P(H3);
P(S/H1); P(S/H2); P(S/H3);

El Teorema de la partición dice que P(S) es igual a la media ponderada de P(S/Hi);  siendo los pesos de ponderación P(Hi).

El Teorema de Bayes o de "la probabilidad inversa" dice que P(Hk/S) es igual al producto P(Hk)P(S/Hk) dividido por la suma P(Hi)P(S/Hi).

Ejemplo. Consideremos otra vez la urna que venimos manejando, pero ahora vamos a suponer que hemos perdido la composición de la urna. La única información de que disponemos viene dada por las probabilidades de los 3 colores, así como por las probabilidades de premio condicionadas a los diferentes colores.

En una hoja preparamos esta información.

En D3 calculamos =B3*C3. Copiamos esta fórmula en D4 y D5. En D6 obtenemos la suma =suma(D3:D5). Y en la columna F las probabilidades de Bayes.

Así quedará la hoja .

Las probabilidades de color de Bayes o "probabilidades a posteriori" cambian sustancialmente despues de conocer que la bola está premiada. El blanco baja de 0'5 a 0'2. Por el contrario el rojo sube notablemente, en tanto que el negro también sube aunque ligeramente.

¡Hola!
¡Un saludo!