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Modelo sencillo de determinación de la renta

Un modelo sencillo de determinación de la renta cuenta con un consumo C función de la renta Y:


C = CA + c Y ; CA >0 ; 0 < c <1

Siendo CA la ordenada en el origen y c la PMC, propensión marginal al consumo.

Por otra parte existirá una inversión planeada por las empresas y las familias I=IA>0, a la que se conoce como inversión autónoma.

Y, por último, el modelo cuenta con una condición de equilibrio: Y = C + I.

Un ejemplo

Vamos a concretar definiendo una función de consumo: C = 150 + 0'5 Y.

Antes de pasar a nuestro objetivo esencial, la determinación de la renta de equilibrio, vamos a detenernos en nuestra función de consumo. Consideremos un valor de la renta de 400 unidades:


Y1 = 400 ; C1 =150 + 0'5 * 400 = 350

La propensión media a consumir es del 87'5%.

Consideremos un incremento de la renta de 100 u. El nuevo valor del consumo será:


Y2 = 500 ; C2 =150 + 0'5 * 500 = 400

De las 100 u. adicionales se han consumido 50, tal como ordena la pendiente de la recta c=0'5. A esta proporción del 50% es a la que hemos llamado PMC, propensión marginal a consumir. La propensión media a consumir ha bajado del 87'5% al 80%.

Después de este preámbulo sobre la función de consumo, vamos ahora a buscar la solución del modelo, es decir, la renta de equilibrio, para un valor I=IA=0. Este valor de la inversión autónoma supone que ni tan siquiera una familia planea la construcción de una vivienda y ni siquiera una empresa planea mejorar su equipo con una nueva máquina. Esto no es económicamente razonable, pero matemáticamente será una solución válida y que nos servirá de base.


C = 150 + 0'5Y
IA = 0
Y = C + I ; Y = 150 + 0'5Y + 0 ; Y - 0'5Y = 150 ; 0'5Y = 150 ; Y = 300

Para esta renta el consumo valdrá:


C = 150 + 0'5Y = 150 + 0'5 * 300 = 300

En resumen, la solución iguala el consumo a la renta, lo que es coherente con la ausencia de inversión.

Gráficamente, este sería el aspecto de la solución.

Hoja de cálculo

Vamos a implementar lo visto en una hoja de Excel a la que llamaremos "modelo1". En las tres primeras filas escribiremos de modo formal nuestro modelo. A este conjunto de celdas le daremos un color amarillo.

En las celdas C5 y C6 escribiremos los valores CA, c de la función de consumo. A estas celdas les daremos un color azul para indicar que nos permiten la entrada de datos.

En general, la solución trivial que se obtiene para IA = 0 sera:


Y = CA + c Y + 0 ; Y -c Y =CA ; Y(1-c) = CA ; Y = CA/(1-c)

Nuestra hoja resolverá en la celda C9, en la que escribiremos = C5/(1-C6) . Y en la celda E9 (recordemos que en la solución trivial, al no haber inversión autónoma, el consumo se iguala a la renta), para obtener el valor del consumo escribiremos = C9 . Estas celdas de cálculo llevarán color rojo. Este sería el aspecto de la hoja. Hemos dejado la ventana de edición de la celda C9, para que se distinga entre el valor calculado y la fórmula que se ha escrito.

Efecto de una variación en la inversión autónoma

Vamos a partir de una solución de equilibrio I; Y ; C determinada por la condición:


Y = CA + c Y + I

Ahora vamos a plantear una variación de la inversión, ΔI, es decir:


I' = I +ΔI

Queremos saber las implicaciones que esta variación va a tener en el nuevo equilibrio:


Y' = CA + c Y' + I'

La variación de la renta será:


Y' -Y = c (Y' - Y) + (I' - I) ; ΔY = cΔY + ΔI

Por lo tanto:


ΔY - cΔY = ΔI ; ΔY(1 - c) = ΔI ; ΔY = ΔI / (1-c)

Es decir, al incrementarse la inversión en ΔI, la renta sufre una variación igual a ΔI multiplicada por 1/(1-c). A este valor 1/(1-c) se le conoce como multiplicador de la inversión. Por supuesto, el multiplicador funciona igual para una caída de la inversión.

Ejemplo

Sigamos con nuestro ejemplo:


C = 150 + 0'5Y

IA = 0

Y = 300

C = 300

Recordemos que se trata de la solución trivial, en la que la inversión es nula, y el consumo es igual a la renta. Pues bien, supongamos que la inversión sube en 100 unidades:


I' = ΔI = 100

El multiplicador vale:


1/(1-c) = 1/(1-0'5) = 2

Por lo tanto:


ΔY =2 * ΔI = 2 * 100 = 200

Y' = Y + ΔY = 300 + 200 = 500

C '=Y' - I' = 500 -100 = 400

Esta solución la podemos ver gráficamente.

La función de ahorro

Nuestro modelo económico se puede presentar cambiando la función de consumo por la función de ahorro S:


S = Y - C = Y - CA- cY = -CA +(1-c)Y

El modelo contará con una inversión planeada I = IA, y el equilibrio se dará cuando la inversión se iguale con el ahorro:


S = I

En nuestro ejemplo:


S= -150 + 0'5Y

I= 100

S= I

-150 + 0'5Y = 100 ; 0'5Y = 250 ; Y=500 ; S= -150 + 0'5 *500 = 100

La solución se puede ver gráficamente.

El proceso

Desde un punto de vista económico debemos poner el mayor interés en el proceso por el cual el incremento de 100 unidades en la inversión se transforma en una variación de 200 unidades en la renta, es decir, el modo en el que el incremento de la inversión se multiplica por 2.

Vamos a imaginar que nuestro camino se inicia con una decisión de varias familias en el sentido de construir unas viviendas. Para ello contratan a un grupo de albañiles en paro, a los que pagan 100 unidades. Ya tenemos nuestro primer incremento de renta por 100 unidades.

Seguimos con una segunda ronda de nuestro ejemplo ingenuo: los albañiles dedican, según marca la PMC, el 50% de su renta al consumo, por ejemplo, a la compra de pan; y contratan a unos panaderos en paro que perciben las 50 unidades correspondientes. Esta sería la segunda etapa en el incremento de la renta.

Ahora los panaderos dedican el 50% de su renta al consumo; supondremos que a la adquisición de unos abrigos y para ello contratan a un sastre en paro, que percibirá una renta de 25 unidades.

En este momento ya el incremento de la renta alcanza las 175 unidades, y aunque teóricamente el proceso es indefinido, ya sabemos que el efecto total acumulado no pasará de las 200 unidades

Hoja de cálculo

Para continuar estos cálculos, la implementación del proceso en Excel es bastante ventajosa. Recordemos que la esencia del modelo del multiplicador radica en el análisis de la variación que produce en el nivel de renta, una variación en el nivel de inversión.

Por eso comenzaremos por fijar en la hoja los niveles de partida de inversión y renta en las celdas C11 y C12; optamos por la solución trivial que ya conocemos: I=0 ; Y=300. En la celda E12, la fórmula = C12-C11 , nos dará el consumo.Así veremos la hoja.

Ahora, en la celda B15 daremos entrada a la variación del nivel de inversión, que siguiendo nuestro ejemplo será ΔI = 100.

Vayamos ahora al proceso de generación de renta: en la primera ronda la variación de inversión se transforma en variación de renta: en la celda B17 pondremos: = B15 . En la segunda ronda, esta variación de renta genera, vía consumo, otra variación de renta, graduada por la PMC; escribiremos en B18: =B17*C$6. De momento este será el aspecto de la hoja.

Vamos a continuar, y, además, vamos a aclarar porqué la celda C6 se ha escrito en el modo C$6. A partir de la tercera ronda, el proceso se vuelve reiterativo. Las variaciones de renta generan, vía consumo, nuevas variaciones de renta, y bastará copiar la fórmula 20 veces, o 40, o las que convenga para que el error cometido al truncar el proceso sea despreciable. Así, tendremos en las celdas B19, B20,.... =B18*C$6; =B19*C$6.......

El proceso de copiado de fórmulas en Excel es relativo, y por eso al desplazarnos hacia abajo los argumentos B17, B18, B19 van cambiando, tal como deseamos.

Por defecto, el otro argumento debería también alterarse, C6,C7,C8.. aunque eso no es lo deseado ya que la PMC está fija en la celda C6. Para evitar esto, en la fórmula hemos fijado C6 escribiendo C$6.

El proceso lo truncamos en la ronda 29 y en la celda B46 calculamos la variación de renta acumulada mediante: =sum(B17:B45). Repetimos esta información en E26, escribiendo: =B46.

En G26 escribimos el multiplicador de la inversión, =E26/B15. En F31 situaremos el nuevo valor de la renta: =E26+C12. En la hoja podemos ver todo esto.

Simulaciones

Ahora, si deseamos ver el efecto de una nuena variación de la inversión, por ejemplo de 150 unidades, la hoja nos proporcionará fácilmente los resultados. Comencemos por dar entrada (celdas C11 y C12) a nuestra solución actual: I=100; Y=500. Y en B15 escribiremos el aumento de la inversión:


ΔI =150.

La hoja nos ofrece automáticamente el proceso de generación de renta: efecto directo (inversión) de 150; y efectos indirectos (vía consumo) de 75, 37'5, ....... La variación total de renta, de 300 unidades lleva al nuevo valor de renta, Y=800.

También podemos cambiar los parámetros del modelo. Sea:


C=10 + (2/3) Y
I=IA
Y = C + I

Daremos entrada a los valores 10 ; 2/3, en las celdas C5 y C6, y automáticamente nos aparece la solución para I=0, es decir la solución trivial: I=0 ; Y= 30.

Ahora, si en las filas 11 y 12 escribimos esta solución, y en la fila 15 un incremento de inversión de 2 unidades, la hoja nos da el proceso de generación de renta: 2, 1'333, 0'888.... que conduce a un total de 6 unidades. La nueva renta será de 36 u. En cuanto al valor del multiplicador, ahora será igual a 3.

Podemos ahora escribir esta nueva solución (I=2 ; Y=36) en las filas 11 y 12; y en la fila 15 consideramos una variación de la inversión de 1 unidad. Automáticamente obtemos la renta generada 3 (1, 0,6666, 0'4444,..) así como la nueva solución de equilibrio: Y=39 ; I=3.

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