Tresfonsitas
Modelo Domar
La recta
La función lineal y=ax+b es una recta de pendiente a; además su ordenada en el origen tiene el valor b.
Tiene como función derivada la constante a, es decir la pendiente de la recta: y'=a.
Inversamente la integral de la constante a es una familia lineal y=ax+k donde k se determinará al fijar un valor inicial b=y0 para la función.
La parábola
El polinómio y=ax2+b x+c es una parábola que corta al eje de abcisas en la soluciones de la ecuación de segundo grado.
La parábola, polinómio, y=x2+ x-2 corta al eje de abcisas en los puntos x=1, x=-2.
La y=2x2+ 4x+2 sólo toca en x=-1, es decir, hay una raíz doble.
La tercera no corta, es decir no hay raíces reales.
Tiene como función derivada la función líneal y'= 2ax+b.
Inversamente la integral de 2ax+b es una familia parabólica y=ax2+bx+k donde k se determinará al fijar un valor inicial c=y0 para la función.
La función exponencial
La función ax muestra un crecimiento mucho más rápido para a=2 que para a=1,1; en tanto que para a = 0,9 es decreciente.
La derivada de ax es la misma función multiplicada por el neperiano de a y por la derivada del exponente, es decir, y'=ln(a) ax.
La derivada de ex es la misma función y'=ex. Por lo tanto se cumple y=y'.
Inversamente la integral o primitiva de ex es la familia ex+k.
La función logarítmica
La función y=loga(x), x>0, sea cual sea la base, ha de pasar por el punto (1,0) y a partir de aquí muestra un crecimiento mucho menos rápido cuanto mayor sea la base.
La derivada de y=ln(x) es y'=1/x.
Inversamente la integral o primitiva de 1/x , x>0, es la familia ln(x)+k.
La curva logística
La función y= 1/(1+e-x) es la logística standard. Al principio crece como la exponencial pero luego tiene un punto de inflexión en x=0, se aplana y finalmente choca con una línea de resistencia en la ordenada y=1.
La derivada cumple y'=y(1-y).
La logística de Verhulst tiene 3 parámetros: y0 es la población inicial, r la tasa de crecimiento y k la población máxima de resistencia del ambiente.
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una expresión que relaciona una función y con sus derivadas y con la v. independiente x.
La solución será obviamente la función que cumpla la ecuación.
Ejemplo: y'=y. Está claro que la solución es y=ex.
Ejemplo 2: y'=yx. Solución: y=ce(x2/2)
Ejemplo 3: y'=y(1-y). Solución: curva logística.
Ejemplo 4: y'/y=5/x. Solución: y=x5
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Caso I Ecuación diferencial homogénea.
y'+y f(x)=0Los ejemplos 2 y 4 ya vistos encajan en este caso.
Caso II Ecuación diferencial con coeficientes constantes.
y'+y a=bCaso general
y'+y f(x)=q(x)
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
y''+cy'+dy=f(x)Caso I Ecuación homogénea
y''+cy'+dy=0La cuestión previa es resolver la ecuación característica z2+cz+d=0. Aquí podemos tener 3 posibilidades: dos raíces reales; una raíz doble; dos raíces complejas.
Caso general
y''+cy'+dy=f(x)Aquí tenemos otra cuestión previa: hallar una solución partícular; esta se basa también en la ecuación caraterística.
La solución general es la suma de las soluciones particular y homogénea.
Modelo Domar
El ahorro S depende de la renta Y, donde alfa es la propensión marginal al ahorro.
Hay proporcionalidad entre capital y producción, donde sigma es la relación capital producto.
El ahorro debe igualarse en equilibrio a la inversión.
Y las tasas de variación instantáneas mantienen igual proporción.
Igualando oferta y demanda, es decir capacidad productiva y renta tenemos pues una ecuación diferencial de primer orden, cuya solución será una exponencial.
Supongamos una proporción de ahorro, alfa, igual a 0,12; y una relación capital producto, sigma, igual a 1/3, es decir su inverso sería igual a 3 años.
Entonces tendriamos que la inversión crecería a algo más de un 4% anual.
Hoja de cálculo Estudio 9
Seguimos con la repetición.
