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pitagoras Tresfonsitas

Modelo Domar

La recta

La función lineal y=ax+b es una recta de pendiente a; además su ordenada en el origen tiene el valor b.

Tiene como función derivada la constante a, es decir la pendiente de la recta: y'=a.

Inversamente la integral de la constante a es una familia lineal y=ax+k donde k se determinará al fijar un valor inicial b=y0 para la función.

La parábola

El polinómio y=ax2+b x+c es una parábola que corta al eje de abcisas en la soluciones de la ecuación de segundo grado.

La parábola, polinómio, y=x2+ x-2 corta al eje de abcisas en los puntos x=1, x=-2.

La y=2x2+ 4x+2 sólo toca en x=-1, es decir, hay una raíz doble.

La tercera no corta, es decir no hay raíces reales.

Tiene como función derivada la función líneal y'= 2ax+b.

Inversamente la integral de 2ax+b es una familia parabólica y=ax2+bx+k donde k se determinará al fijar un valor inicial c=y0 para la función.

La función exponencial

La función ax muestra un crecimiento mucho más rápido para a=2 que para a=1,1; en tanto que para a = 0,9 es decreciente.

La derivada de ax es la misma función multiplicada por el neperiano de a y por la derivada del exponente, es decir, y'=ln(a) ax.

La derivada de ex es la misma función y'=ex. Por lo tanto se cumple y=y'.

Inversamente la integral o primitiva de ex es la familia ex+k.

La función logarítmica

La función y=loga(x), x>0, sea cual sea la base, ha de pasar por el punto (1,0) y a partir de aquí muestra un crecimiento mucho menos rápido cuanto mayor sea la base.

La derivada de y=ln(x) es y'=1/x.

Inversamente la integral o primitiva de 1/x , x>0, es la familia ln(x)+k.

La curva logística

La función y= 1/(1+e-x) es la logística standard. Al principio crece como la exponencial pero luego tiene un punto de inflexión en x=0, se aplana y finalmente choca con una línea de resistencia en la ordenada y=1.

La derivada cumple y'=y(1-y).

La logística de Verhulst tiene 3 parámetros: y0 es la población inicial, r la tasa de crecimiento y k la población máxima de resistencia del ambiente.

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una expresión que relaciona una función y con sus derivadas y con la v. independiente x.

La solución será obviamente la función que cumpla la ecuación.

Ejemplo: y'=y. Está claro que la solución es y=ex.

Ejemplo 2: y'=yx. Solución: y=ce(x2/2)

Ejemplo 3: y'=y(1-y). Solución: curva logística.

Ejemplo 4: y'/y=5/x. Solución: y=x5

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Caso I Ecuación diferencial homogénea.

y'+y f(x)=0

Los ejemplos 2 y 4 ya vistos encajan en este caso.

Caso II Ecuación diferencial con coeficientes constantes.

y'+y a=b

Caso general

y'+y f(x)=q(x)

Ejemplo 5

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes

y''+cy'+dy=f(x)

Caso I Ecuación homogénea

y''+cy'+dy=0

La cuestión previa es resolver la ecuación característica z2+cz+d=0. Aquí podemos tener 3 posibilidades: dos raíces reales; una raíz doble; dos raíces complejas.

Caso general

y''+cy'+dy=f(x)

Aquí tenemos otra cuestión previa: hallar una solución partícular; esta se basa también en la ecuación caraterística.

La solución general es la suma de las soluciones particular y homogénea.

Ejemplo

Modelo Domar

El ahorro S depende de la renta Y, donde alfa es la propensión marginal al ahorro.

Hay proporcionalidad entre capital y producción, donde sigma es la relación capital producto.

El ahorro debe igualarse en equilibrio a la inversión.

Y las tasas de variación instantáneas mantienen igual proporción.

Igualando oferta y demanda, es decir capacidad productiva y renta tenemos pues una ecuación diferencial de primer orden, cuya solución será una exponencial.

Supongamos una proporción de ahorro, alfa, igual a 0,12; y una relación capital producto, sigma, igual a 1/3, es decir su inverso sería igual a 3 años.

Entonces tendriamos que la inversión crecería a algo más de un 4% anual.

Hoja de cálculo Estudio 9

Seguimos con la repetición.

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