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Números complejos

Aunque ya se trabajaba desde el siglo XVI con los números imaginarios y las raíces cuadradas de números negativos, es el matemático suizo Euler el que, en el siglo XVIII, denota con el símbolo i (i de imaginario) a la unidad imaginaria.

El número complejo es un par ordenado (a,b) que se representa en un plano cuyo eje de abcisas es el eje real, y el de ordenadas el imaginario.

Los números reales 1 y -1 se representan como (1,0) y (-1,0).

La unidad imaginaria i se define como la raiz cuadrada de (-1) , es decir i2= -1, y se representa como (0,1).

Suma y producto.

La suma de de dos números complejos (a+bi) y (e+fi) se define como:

(a+bi) + (e+fi) = [a+e +(b+f)i]

Ejemplo. La suma del número real 1 y del imaginario i viene dada por el par (1,1); en efecto:

(1+0*i) + (0+i) = [1 +i]

Ejemplo 2. La suma del número real -1 y del imaginario 2i viene dada por el par (-1,2); en efecto:

(-1+0*i) + (0+2i) = [-1 +2i]

El producto de dos números complejos (a+bi) y (e+fi) se define como:

(a+bi) * (e+fi) = [ae +(af+be)i +bf i2] =[ae-bf +(af+be)i]

Ejemplo 3. El producto del número real -1 y del imaginario 2i viene dado por el par (0,-2); en efecto:

(-1+0*i) * (0+2i) = [-2i]

Ejemplo 4. El producto de los complejos (1+2i) y (1-2i) viene dada por el par (5,0); en efecto:

(1+2i) * (1-2i) = [5+0*i]

Módulo y argumento.

Módulo r es la distancia del punto (a,b) al origen de coordenadas y argumento alfa es el ángulo que forma el eje real con el radio que une el origen al punto.

El producto de dos complejos en forma módulo argumental tendrá de módulo el producto de los módulos y de argumento la suma de los argumentos.

El cuadrado de un número complejo tendrá de nuevo modulo el cuadrado del anterior y de nuevo argumento dos veces el antiguo.

La potencia enésima, se puede calcular por la fórmula de De Moivre, matemático francés coetáneo de Euler, aunque bastante mayor que el suizo.

En el gráfico tenemos 8 números complejos y en la tabla tenemos las coordenadas real e imaginaria, el módulo y el argumento.

Algunas relaciones entre ángulos y funciones trigonométricas:

Sen(-alfa)=-Sen(alfa); sen (90-alfa)=cos(alfa); sen (180+alfa)=-sen(alfa)

cos(-alfa)=cos(alfa); cos (90-alfa)=sen(alfa); cos (180+alfa)=-cos(alfa)

Ejemplo. La suma del número real 1 y del imaginario i viene dada por el par (1,1), como sabemos.

El número real 1 tiene módulo uno y argumento cero, mientras que la unidad imaginaria "i" tiene módulo uno, pero argumento 90º.

La suma tiene módulo 1,4142, es decir la raíz cuadrada de 2, y como argumento 45º.

Ejemplo 2. La suma del número real -1 y del imaginario 2i viene dada por el par (-1,2).

El real -1 tiene uno de módulo y de argumento 180º; el imaginario 2i tiene 2 de módulo y 90º de argumento.

La suma tiene módulo 2,236, es decir la raíz cuadrada de 5, y como argumento 116,56 grados.

Ejemplo 3.

El producto del número real -1 y del imaginario 2i viene dado por el par (0,-2).

El real -1 tiene uno de módulo y de argumento 180º; el imaginario 2i tiene 2 de módulo y 90º de argumento.

El módulo del producto vale 2 y el argumento -90º, o 270º si se prefiere.

Ejemplo 4. El producto de los complejos (1+2i) y (1-2i) viene dada por el par (5,0).

El módulo de (1+2i) es la raíz de 5, igual que el de (1-2i). El argumento de (1+2i) es 63,43 grados y el de (1-2i) -63,43º.

El módulo del producto es 5 y el argumento 0º

Hoja de cálculo Estudio 8

Seguimos con la memorización.

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