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pitagoras Tresfonsitas

La derivada para economistas

El profesor Taro Yamane nos ofrece unos ejemplos de diferenciación propios del mundo económico.

Función de producción. Sea y la cantidad de trigo obtenida mediante una cantidad de trabajo x.

Supongamos que al aumentar x en una unidad, la cantidad de trigo y aumenta en 70 litros. Esta relación la podemos escribir como: y=70x.

Pero también podemos escribir:

Esta última relación nos dice que para un pequeño cambio en el trabajo, la cantidad de trigo aumenta en una proporción igual a 70: por ejemplo, para un aumento del trabajo de 0,1 unidades, el incremento en la cantidad de trigo es de 7 litros.

Nótese que la proporción liga unidades heterogéneas: unidades de trabajo y litros.

Ejemplo 2. Sea la siguiente relación entre trabajo y trigo: y=100x2. Tendremos:

Por tanto, para un pequeño cambio en el trabajo, la cantidad de trigo aumenta en una proporción igual a 200x: por ejemplo, para un aumento del trabajo de 0,1 unidades, el incremento en la cantidad de trigo es de 20x litros.

A diferencia del primer ejemplo, ahora la proporción es variable.

Si estamos produciendo con 5 unidades de trabajo, un incremento de 0,1 unidades provocará un aumento de y en una proporción igual a 1000, es decir de 100 litros.

En cambio si operamos con 8 u. de trabajo, un aumento de 0,1 nos dará un aumento de producción de 160 litros.

Bien entendido que tenemos un pequeño error debido a que hemos despreciado un término en la relación.

En términos matemáticos exactos, es decir cuando el incremento de x tiende a cero, esa relación se conoce como derivada de y respecto de x:

Función de consumo.

Sea Y la renta nacional y C el consumo.

Supongamos que b es la propensión marginal al consumo, es decir, la parte de la nueva renta que se dedica al consumo; y que el consumo para una renta nula es a. Esta relación la podemos escribir como: C=a+bY.

Pero también podemos escribir:

Es decir, para un pequeño cambio en la renta, el consumo aumenta en una proporción igual a b: por ejemplo, para un aumento de la renta de 0,1 unidades monetarias, el incremento en el consumo es de 0,1b u.m. En este caso la tasa de variación del consumo con la renta es fija.

Nótese también que la proporción liga unidades homogéneas: unidades monetarias.

En términos matemáticos esa relación se conoce como derivada de C respecto de Y:

Concretando: C=2+0,5Y.

Sea cual sea la renta, un aumento de 0,1 u.m. provoca un aumento de 0,05 u.m. en el consumo.

Otra cosa es la propensión media al consumo: si Y=4 el consumo alcanza las 4 u.m. y la propensión media valdría 1.

Si Y= 8, entonces C=6, y la propensión media estaría en 0,75.

Función de coste.

Sea C el coste y q la cantidad de producto.

Supongamos que C=q3.

Pero también podemos escribir:

Por tanto, para un pequeño cambio en la cantidad producida el coste aumenta en una proporción igual a 3q2: por ejemplo, para un aumento de la producción de 0,1 unidades, el incremento en el coste es de 0,3q2.

Ahora la proporción es variable.

Si estamos produciendo 2 unidades de producto, un incremento de 0,1 unidades provocará un aumento de C en una proporción igual a 12, es decir de 1,2 unidades monetarias.

En cambio si operamos con 5 u. físicas, un aumento de 0,1 nos dará un aumento de coste de 7,5 u. m.

Bien entendido que tenemos un pequeño error asociado a los 2 términos despreciados.

En términos matemáticos esa relación se conoce como derivada de C respecto de q:

Regla de la cadena.

Sea x la superficie de tierra, y la cantidad de trigo y z la de pan.

Supongamos que por unidad de tierra podemos producir 2 unidades de trigo: y=2x. Y que por unidad de trigo podemos producir 15 de pan: z=15y.

Ecuación de balance

Sea M la renta personal; q1, q2, las cantidades consumidas de los 2 bienes existentes; y sean p1, p2, los precios. Se tendrá que cumplir:

Ejemplo. Sean x e y las cantidades de dos bienes y sus precios respectivos px=4; py=2; y sea M=40 la renta disponible. Tenemos que la recta de balance es 40=4x+2y; además, (10,20) serán las cantidades máximas consumibles de los bienes respectivos. La relación de variación será:

Al ser la derivada constante no tenemos que preocuparnos de usar intervalos pequeños; de modo que simplemente diremos que un aumento unitario del consumo de x desde 2 unidades a 3, exige una disminución del consumo de y en dos unidades: desde 16 a 14.

Función de utilidad

Mide la satisfacción del consumidor en función de la cantidad del bien consumida: u=f(x).

En el caso de bienes culturales podemos imaginar una función que crezca indefinidamente, por ejemplo, la exponencial: y=ex, siendo x el número de libros leídos.

La utilidad marginal será la variación de utilidad en relación a la variación del bien: en este caso será la misma exponencial.

Pero en los bienes naturales es inevitable la existencia de un nivel de saturación que ponga un tope al crecimiento de la utilidad.

La función y= 2/(1+e-x) -1, por ejemplo, presentaría una saturación en un nivel cercano a la unidad, a partir de la unidad sexta.

La utilidad marginal sería decreciente:

Para x= 3 tendríamos una utilidad de 0,905, y una utilidad marginal de 0,09, de modo que un aumento de 0,1 unidades en el bien nos llevaría a una utilidad aproximada de 0,914.

Coste medio y coste marginal

Sea una función del coste C dependiente de la cantidad producida q: C=1+q+q2.

El coste marginal será: C'=1+2q.

El coste medio CM resultará de:

De modo que coste marginal y coste medio se igualan cuando la derivada de este último es nula, es decir, cuando q=1.

Demanda e ingreso

Ejemplo. Sea una función de demanda q dependiente del precio p: q=30-4p-p2.

El ingreso será: I=pq.

El ingreso medio obviamente es IM=p, donde el valor de p en función de q nos será devuelto como raíz p de la ecuación de segundo grado p2+4p+q-30=0. Así, para q=9, tenemos p=3; o para q=30, p=0.

El ingreso marginal (dI/dq), será:

La elasticidad de la demanda mide pues la sensibilidad de la demanda a variaciones en los precios.

Ejemplo 2. Sea q=10/p.

El ingreso medio, IM=p, donde el valor de p es 10/q, para q=5, será p=2; o para q=10, p=1.

La elasticidad será:

Quiere decir que si doblamos el precio la demanda se reduce a la mitad. Y el ingreso marginal será lógicamente nulo.

Ejemplo 3. Sea q=10 -0,01p.

El ingreso medio, IM=p, donde el valor de p es 1000-100q, para q=6, será p=400; o para q=8, p=200.

La elasticidad será:

En concreto, para un precio 500, la elasticidad valdrá 1.

Quiere decir que si subimos a 550 (un aumento del 10%) la demanda se reduce en un 10%.

Para un precio 800 la elasticidad vale 4. Si subimos el precio un 12,5% la demanda baja un 50%. Si bajamos el precio un 25% la demanda se duplica.

Y el ingreso marginal será:

En concreto para p=800, el ingreso marginal valdrá 600. Pero este concepto sólo es exacto en movimientos muy pequeños. Así, si bajo el precio a 799 la demanda aumentará hasta 2,01; por lo tanto el nuevo ingreso total se elevará hasta 1606.

Por el contrario si subo a 801 tendré un descenso de la demanda a 1,99 y el ingreso total bajará hasta 1594.

Hoja de cálculo Estudio 6

Seguimos con algunos nombres que merecen estar clavados con una chincheta..

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