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pitagoras Tresfonsitas

El número e

Progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante d.

A la suma se la conoce como "serie" aritmetica.

Una progresión aritmética se puede aproximar por una función contínua, una recta y=dx+y0. La derivada de la función es d, es decir la diferencia.

Ejemplo: en la tabla tenemos 13 términos de una sucesión de término inicial 1 y razón (diferencia) 2. En el gráfico vemos la progresión y las diferencias idealizadas en sendas rectas. La suma de estos 13 términos es 169.

Progresión aritmética de segundo orden: es un polinomio de segundo orden.

Las diferencias primeras forman una progresión aritmetica y las diferencias segundas serán por lo tanto una constante.

Una progresión aritmética de segundo orden se puede aproximar por una parábola: y=y0+bx+ax2. La primera derivada es y'=b+2ax. La derivada segunda es y''= 2a.

Las diferencias segundas coinciden con la segunda derivada. No así la primera derivada y las diferencias primeras, aunque son conceptos perfectamente análogos. El problema es que las diferencias reflejan la variación correspondiente a un salto de amplitud 1 que es el que hay entre los números naturales, mientras que la función derivada recoge la variación infinitesimal.

Si pensasemos en una sucesiones en las que el dominio en lugar de los números naturales fuese el conjunto de números (0, 0.001, 0.002,….), es decir con un salto de una milésima veríamos como las diferencias se aproximaban mucho mejor a las derivadas.

Ejemplo. Sea la sucesión de término general: yn=1+n+n2 Tenemos en la tabla, 13 términos de la progresión, diferencias y diferencias segundas.

La primera derivada de la función y=1 + x + x2 es: y'=1+2x. La segunda derivada es: y''=2. Como puede verse coincide con las diferencias segundas. La primera derivada obviamente no coincide con las diferencias primeras.

Vayamos ahora con la serie correspondiente a esta progresión, es decir con las sumas. Hemos visto como las diferencias de una progresión aritmética de segundo orden son una progresión aritmética. Entonces la serie, es decir las sumas, deberían ser un polinomio de tercer grado. yn=y0+cn+bn2+an3

Vamos a comprobarlo. Para calcular los parámetros del polinomio iremos por etapas.

Progresión geométrica es una sucesión de números tales que el cociente entre dos términos consecutivos es una constante b.

Una progresión geométrica se puede idealizar por una exponencial: y=y0 bx

Ejemplo: sea la progresión geométrica de razón 3.

Las diferencias obedecen a la misma ley exactamente.

La capitalización compuesta se puede expresar como una progresión geométrica.

El número e y la capitalización compuesta.

Afirmación: "si imponemos un euro al 100% de interés, tendremos al cabo de un año el número e".

Respuesta: "No, si imponemos un euro al 100% de interés, tendremos al cabo de un año 2 euros".

Los dos resultados son posibles; desde luego el segundo es el más inmediato: C1=1(1+1)=2

Ahora bien, este resultado supone que el interés se ha capitalizado al final del año, es decir, una única vez.

Supongamos que el interés se capitaliza mensualmente: el interés mensual equivalente en tanto por uno es (1/12)=0,083333 y tendremos 2,613 euros, que no es el número e, pero algo nos hemos acercado.

Supongamos que el interés se capitaliza diariamente: el interés diario equivalente en tanto por uno es (1/365)= 0,002739726 y tendremos 2,7146 euros, donde ya aparecen los dos decimales primeros del número e.

Pasemos al supuesto de capitalizar cada hora: tenemos 365*24= 8760 horas, lo que supone, trasladado a filas de la hoja de cálculo que estamos más ante un lío que ante un buen plan.

Pero Excel nos permite crear una macro que haga la tarea y únicamente nos ofrezca el resultado en una celda de la hoja; simplemente le daremos, en la segunda celda de la primera columna, el número de periodos en que descomponemos el año.

Como se puede ver el resultado es prácticamente exacto para las décimas de segundo, de modo que si nos situamos en el mundo ideal podemos decir que un euro al 100% de interés, si la capitalización es contínua, nos daría el número e como capital final.

Hoja de cálculo Estudio 5

Seguimos con las preguntas que asienten algunos nombres en la memoria..

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