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pitagoras Tresfonsitas

Modelo Samuelson

Ecuaciones en diferencias finitas.

Llamamos EDF de orden 1 a la expresión,

y(n+1)+ky(n)=f(n)

Y diremos que su solución es la sucesión que cumple la ecuación.

Ejemplo.

yn+1-yn=n ; y0=0

Tenemos una diferencia primera que es una progresión aritmética, y sabemos que este es el caso de las progresiones aritméticas de segundo orden.

Ejemplo 2.

yn+1-2yn=3n ; y0=1

Sabemos que las diferencias primeras yn+1 - yn de las progresiones geométricas conservan la estructura de progresión geométrica.

Vamos a estudiar si esa propiedad la tiene la diferencia de nuestra EDF.

Ejemplo 3. (Universidad de Jaén) Una población de insectos con 100 individuos, duplica su número en cada generación, y además, 10 nuevos individuos se incorporan procedentes de otro lugar.

Cuando el segundo miembro de una EDF es nulo la EDF se llama homogénea.

EDFH de primer orden:

yn+1+a0 yn=0

Estudiamos las raíces del polinómio característico: p(r)=r+a0

Raíz: r=- a0

La solución es: k(-1)n(a0)n

Ejemplo 1:

yn+1-yn=0

Llamamos EDF de orden 2 a la expresión,

yn+2+hyn+1+kyn=f(n)

Solución de una EDFH de segundo orden:

yn+2+a1 yn+1+a0 yn=0

Estudiamos las raíces del polinómio característico: p(r)=r2 + a1 r +a0

Caso 1: raíces reales distintas.

La solución es:

k1 (r1)n +k2(r2)n

Ejemplo 4. Supongamos que una población de insectos crece el triple de lo que creció en el periodo anterior. Valor inicial: 100.

Caso 2: raíces reales dobles.

La solución es:

k1 (r)n +k2n(r)n

Ejemplo 5.

Caso 3: raíces complejas conjugadas.

Solución general La solución general es la suma de la obtenida para la EDF homogénea y una solución particular.

Para obtener la solución partícular nos fijamos en el segundo término de la ecuación, f(n).

Caso A. Si es una función exponencial an entonces probamos la solución particular k an.

Caso B. Si es un polinomio ensayamos con un polinomio.

Ejemplo 1.

Modelo de Samuelson

Sea una función de consumo en la que alfa es la propensión marginal al consumo.

Y una función de inversión en la que Beta es el acelerador.

Ejemplo: G=1; alfa=0,5; beta=0.

Ejemplo: G=1; alfa=1; beta=1.

Ejemplo: G=1; alfa=0,5; beta=2.

Hoja de cálculo Estudio 10

Seguimos con la repetición.

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